সমকোণী ত্রিভুজ ও পিথাগোরাসের উপপাদ্য

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, ভূমি ও উন্নতি চেনা, আর তিন বাহুর মধ্যে সেই বিখ্যাত সম্পর্ক $c^2 = a^2 + b^2$ ।

15 min Easy p. 141 14 questions Lesson 1 of 3

খ্রিষ্টপূর্ব ষষ্ঠ শতাব্দীর গ্রিক দার্শনিক পিথাগোরাস সমকোণী ত্রিভুজের একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য নিরূপণ করেন। সমকোণী ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্য পিথাগোরাসের বৈশিষ্ট্য বলে পরিচিত। বলা হয় পিথাগোরাসের জন্মের আগে মিশরীয় ও ব্যবিলনীয় যুগেও সমকোণী ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্যের ব্যবহার ছিল। এ অধ্যায়ে আমরা সমকোণী ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করব।

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো বিশেষ নামে পরিচিত। সমকোণের বিপরীত বাহু (Hypotenuse) এবং সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে (Base) ও (Height)। বর্তমান অধ্যায়ে এ তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের মধ্যে যে সম্পর্ক রয়েছে সে বিষয়ে আলোচনা করা হবে।

প্রাচীন মিশরে নীলনদের তীরে তিনজন জমি-মাপক বারোটি সমান ভাগে গিঁট দেওয়া একটি দড়ি তিনটি খুঁটিতে টানটান করে ধরে ৩, ৪ ও ৫ ভাগের একটি ত্রিভুজ বানাচ্ছেন; ৩ ও ৪ ভাগের বাহুর মাঝে সমকোণ তৈরি হয়েছে — চিত্র ৯.১ প্রাচীন মিশরের জমি-মাপকেরা বারোটি সমান ভাগে গিঁট দেওয়া দড়ি ৩, ৪ ও ৫ ভাগে টানটান করে জমির কোণে সমকোণ বানাতেন বলে কথিত আছে।

জানো কি? পিথাগোরাসের আগেও

ব্যবিলন: প্রায় ৩৮০০ বছর আগের একটি মাটির ফলকে (প্লিম্পটন ৩২২) এমন অনেক সংখ্যা-ত্রয়ী লেখা আছে, যেগুলো সমকোণী ত্রিভুজের বাহু হতে পারে।
মিশর: নীলনদের বন্যার পর জমির সীমানা আবার মাপতে হতো। জমি-মাপকেরা গিঁট দেওয়া দড়ি দিয়ে সমকোণ বানাতেন বলে প্রচলিত আছে।
ভারত: প্রায় ২৮০০ বছর আগের বৌধায়ন শুল্বসূত্রে যজ্ঞের বেদি বানানোর নিয়মে সম্পর্কটি কথায় লেখা আছে: আয়তের কর্ণের উপর আঁকা বর্গ, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের উপর আঁকা দুই বর্গের সমান।

তবু সম্পর্কটি সব সমকোণী ত্রিভুজের জন্য সত্য, এটি প্রমাণ করার কৃতিত্ব দেওয়া হয় পিথাগোরাস ও তাঁর অনুসারীদের।

৯.১ সমকোণী ত্রিভুজ

চিত্রে, $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার $\ang ACB$ কোণটি সমকোণ। সুতরাং $AB$ ত্রিভুজটির অতিভুজ। চিত্রে ত্রিভুজটির বাহুগুলো $a, b, c$ দ্বারা নির্দেশ করি।

চিত্র ৯.২ সমকোণী ত্রিভুজ ABC; সমকোণ C বিন্দুতে। সমকোণের বিপরীত বাহু AB = c অতিভুজ।

অতিভুজ সবসময় ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু। কারণ, ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তর, আর সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণই বৃহত্তম কোণ (বাকি দুটি কোণের যোগফলই $90\degree$ )।

ত্রিভুজটি ঘুরিয়ে বা উল্টে আঁকলেও অতিভুজ চেনার উপায় একটিই: আগে সমকোণটি খোঁজো, তারপর তার ঠিক উল্টো দিকের বাহুটি দেখো। নিচের খেলায় চেষ্টা করো।

যে বাহুটিকে অতিভুজ মনে হয়, সেটিতে চাপ দাও।

FD নয়। এই বাহুটি সমকোণের একটি বাহু। সমকোণের চিহ্নটি খোঁজো: তার উল্টো দিকের বাহুটিই অতিভুজ।

ঠিক! DE অতিভুজ, কারণ এটি সমকোণ ∠F-এর বিপরীত বাহু।

প্রথম চেষ্টায় ঠিক: ০

চিত্র ৯.৩ অতিভুজ কোনটি? যে বাহুটিকে অতিভুজ মনে হয় তাতে চাপ দাও (অথবা Tab দিয়ে বাছাই করে Enter)। নতুন ত্রিভুজের জন্য “অন্য ত্রিভুজ”।

বহুনির্বাচনি সহজ

$\tri PQR$ -এ $\ang Q = 90\degree$ হলে অতিভুজ কোনটি?

কাজ: অতিভুজ মেপে দেখা

খাতায় স্কেল আর সেট-স্কয়ার দিয়ে এঁকে মাপার পর নিচের চিত্রে মিলিয়ে দেখো। তারপর বাহু দুইটি বদলে (বিন্দু টেনে বা স্লাইডার দিয়ে) আরও কয়েকবার মাপো।

ভূমি

উন্নতি

ভূমি a	উন্নতি b	অতিভুজ c	a² + b²	c²
·	·	·	·	·
·	·	·	·	·
·	·	·	·	·
·	·	·	·	·

প্রতিটি মাপ এখানে জমা হয় (শেষের চারটি); c হলো স্কেলে মাপা অতিভুজ। স্কেলে মিলিমিটার পর্যন্ত মাপা যায়, তাই শেষের দুই কলাম কখনো একটু আলাদা হয়; তবু প্রায় সমান, তাই না?

চিত্র ৯.৪ কাজটি পর্দায়: “অতিভুজ মাপো” চাপলে স্কেলটি ঘুরে অতিভুজের উপর বসে যায়। প্রতিটি মাপ নিচের সারণিতে জমা হয়।

লক্ষ করো, $3^2 + 4^2 = 5^2$ , অর্থাৎ দুই বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপের বর্গের যোগফল অতিভুজের পরিমাপের বর্গের সমান।

3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2

সুতরাং $a, b, c$ বাহু দ্বারা নির্দেশিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রে $c^2 = a^2 + b^2$ হবে। এটা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের মূল প্রতিপাদ্য। এই উপপাদ্যটি বিভিন্নভাবে প্রমাণ করা হয়েছে; কয়েকটি সহজ প্রমাণ পরের পাঠে দেখব।

৯.২ পিথাগোরাসের উপপাদ্য

“বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র” মানে ওই বাহুটিকেই একটি বাহু ধরে আঁকা বর্গ। $c$ বাহুর উপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফল $c^2$ , তাই উপপাদ্যটি প্রতীকে লেখা যায়:

নিচের চিত্রে অতিভুজ $AB$ শুয়ে আছে, আর তিন বাহুর উপর তিনটি বর্গ আঁকা। $C$ বিন্দুটি টেনে (অথবা $\ang A$ স্লাইডার দিয়ে) ত্রিভুজের আকার বদলাও। $C$ সবসময় $AB$ -এর উপর আঁকা অর্ধবৃত্তের উপর থাকে, তাই $\ang C$ সবসময় সমকোণ। তারপর ঢেলে দেখো চাপো: ছোট দুই বর্গে যত পানি আছে, সব বড় বর্গে ঢেলে দেওয়া হবে।

a² + b² ২৫ c² ২৫

অতিভুজ c

∠A

একক বর্গ

চেনা ত্রিভুজ:

চিত্র ৯.৫ সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর উপর বর্গ। C টেনে বা স্লাইডার দিয়ে আকার বদলাও, “ঢেলে দেখো” চাপো। একক বর্গ গুনেও মিলিয়ে দেখা যায়: ৯ + ১৬ = ২৫।

উপপাদ্যের ব্যবহার: অজানা বাহু নির্ণয়

সমকোণী ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহু জানা থাকলে তৃতীয়টি বের করা যায়। অতিভুজ বের করতে বর্গ দুটি যোগ করতে হয়; অন্য কোনো বাহু বের করতে অতিভুজের বর্গ থেকে বিয়োগ করতে হয়।

উদাহরণ ১ অতিভুজ নির্ণয়

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি $5$ সে.মি. ও $12$ সে.মি.। অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উদাহরণ ২ একটি বাহু নির্ণয়

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $25$ সে.মি. এবং একটি বাহু $7$ সে.মি.। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

উদাহরণ ৩ উত্তর যখন পূর্ণসংখ্যা নয়

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি $2$ সে.মি. ও উন্নতি $3$ সে.মি.। অতিভুজ কত?

সাবধান দুটি সাধারণ ভুল

আগে অতিভুজ চেনো। শুধু অতিভুজের বর্গই বাকি দুই বর্গের যোগফলের সমান। অতিভুজ $10$ ও একটি বাহু $6$ দেওয়া থাকলে $6^2 + 10^2$ করলে ভুল হবে; করতে হবে $10^2 - 6^2 = 64$ , উত্তর $8$ ।
বর্গমূল ভাগ হয় না। $\sqrt{3^2 + 4^2}$ মানে $\sqrt{25} = 5$ , কিন্তু $3 + 4 = 7$ নয়। অর্থাৎ $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ । (ত্রিভুজের দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়, তাই অতিভুজ কখনো $a + b$ হতে পারে না।)

নিজে চেষ্টা করো

১

একটি আয়তাকার খাতার পাতার দৈর্ঘ্য $24$ সে.মি. ও প্রস্থ $18$ সে.মি.। পাতার এক কোণ থেকে বিপরীত কোণ পর্যন্ত কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

২

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি $a$ হলে অতিভুজ কত? ওপরের চিত্রে “১, ১, √২” বোতামে চাপ দিয়ে মিলিয়ে দেখো।

এক নজরে

সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণের বিপরীত বাহু অতিভুজ; সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি ভূমি ও উন্নতি। অতিভুজ বৃহত্তম বাহু।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য: অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান: $c^2 = a^2 + b^2$ ।
অতিভুজ নির্ণয়ে বর্গ যোগ: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ । অন্য বাহু নির্ণয়ে বিয়োগ: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ ।
$\sqrt{a^2 + b^2}$ কখনো $a + b$ নয়।

Check yourself

14 questions from this lesson. Every question of the chapter is in its Exercises.

প্রশ্ন ১ বহুনির্বাচনি সহজ অনুশীলনী ৯

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য $5\degree$ হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

প্রশ্ন ২ বহুনির্বাচনি সহজ অনুশীলনী ৯

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $x$ একক এবং অপর বাহুদ্বয়ের একটি $y$ একক হলে ৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত একক?

প্রশ্ন ৩ বহুপদী সমাপ্তিসূচক সহজ নমুনা প্রশ্ন

$\tri ABC$ এ $\ang A = 1$ সমকোণ হলে এর

i. অতিভুজ $BC$
ii. ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} AB \cdot AC$
iii. $BC^2 = AB^2 + AC^2$

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্ন ৪ সংখ্যায় উত্তর সহজ নমুনা প্রশ্ন

$\tri ABC$ -এ $\ang C = 90\degree$ , $AB = 5$ সে.মি., $AC = 4$ সে.মি. হলে, $BC$ -এর মান নির্ণয় করো।

প্রশ্ন ৫ সংখ্যায় উত্তর সহজ নমুনা প্রশ্ন

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব $6$ সে.মি. ও অতিভুজ $10$ সে.মি. হলে, এর ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

প্রশ্ন ৬ বহুনির্বাচনি সহজ

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি $3$ সে.মি. ও $4$ সে.মি.। অতিভুজ কত সে.মি.?

প্রশ্ন ৭ সংক্ষিপ্ত উত্তর সহজ

সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণের বিপরীত বাহুকে কী বলে?

প্রশ্ন ৮ বহুপদী সমাপ্তিসূচক মাঝারি

$\tri ABC$ -এ $\ang A = 90\degree$ । নিচের তথ্যগুলো লক্ষ করো:

i. $BC$ ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু
ii. $AB^2 + AC^2 = BC^2$
iii. $\ang B + \ang C = 90\degree$

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্ন ৯ সত্য/মিথ্যা সহজ

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ কখনো অন্য কোনো বাহুর চেয়ে ছোট হতে পারে না।

প্রশ্ন ১০ সত্য/মিথ্যা সহজ

$\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$

প্রশ্ন ১১ সংখ্যায় উত্তর মাঝারি

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $17$ সে.মি. এবং একটি বাহু $8$ সে.মি.। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

প্রশ্ন ১২ সংখ্যায় উত্তর মাঝারি

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি $20$ সে.মি. ও উন্নতি $21$ সে.মি.। অতিভুজ কত সে.মি.?

প্রশ্ন ১৩ সংখ্যায় উত্তর মাঝারি

একটি বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু $5$ সে.মি.। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.? (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)

প্রশ্ন ১৪ বহুনির্বাচনি মাঝারি

রাফি লিখল, "ভূমি $6$ ও উন্নতি $8$ হলে অতিভুজ $6 + 8 = 14$ ।" অতিভুজের সঠিক মান কত?

Finished reading?

Mark the lesson as done to add it to your progress. It is saved in this browser.

৯.১ সমকোণী ত্রিভুজ#

কাজ: অতিভুজ মেপে দেখা#

৯.২ পিথাগোরাসের উপপাদ্য#

উপপাদ্যের ব্যবহার: অজানা বাহু নির্ণয়#

নিজে চেষ্টা করো#