পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ

$\tri ABC$ ও $\tri CDE$-এ $AB = CD = c$, $BC = DE = a$ এবং অন্তর্ভুক্ত $\ang ABC =$ অন্তর্ভুক্ত $\ang CDE$

সুতরাং $\tri ABC \cong \tri CDE$

$\therefore AC = CE = b$ এবং $\ang BAC = \ang ECD$

আবার, $AB \perp BD$ এবং $ED \perp BD$ বলে $AB \para ED$। সুতরাং $ABDE$ একটি ট্রাপিজিয়াম।

তদুপরি, $\ang ACB + \ang BAC = \ang ACB + \ang ECD =$ এক সমকোণ।

$\therefore \ang ACE =$ এক সমকোণ। $\therefore \tri ACE$ সমকোণী ত্রিভুজ।

এখন, $ABDE$ ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= (\tri$ ক্ষেত্র $ABC + \tri$ ক্ষেত্র $CDE + \tri$ ক্ষেত্র $ACE)$

বা, $\dfrac{1}{2} BD (AB + DE) = \dfrac{1}{2} ac + \dfrac{1}{2} ac + \dfrac{1}{2} b^2$

বা, $\dfrac{1}{2} (BC + CD)(AB + DE) = \dfrac{1}{2} [2ac + b^2]$

বা, $(a + c)(a + c) = 2ac + b^2$

বা, $a^2 + 2ac + c^2 = 2ac + b^2$

$\therefore b^2 = c^2 + a^2$ (প্রমাণিত)

$\tri BCH$ ও $\tri ABC$-এ $\ang BHC = \ang ACB$

এবং $\ang CBH = \ang ABC$

$\therefore \tri CBH$ ও $\tri ABC$ সদৃশ।

$\therefore \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BH}{BC}$

$\therefore \dfrac{a}{c} = \dfrac{e}{a} \quad \cdots \cdots (1)$

অনুরূপভাবে, $\tri ACH$ ও $\tri ABC$ সদৃশ।

$\therefore \dfrac{b}{c} = \dfrac{d}{b} \quad \cdots \cdots (2)$

অনুপাত দুইটি থেকে পাই, $a^2 = c \times e$, $b^2 = c \times d$

অতএব, $a^2 + b^2 = c \times e + c \times d$

$= c(e + d) = c \times c = c^2$

$\therefore c^2 = a^2 + b^2$ [প্রমাণিত]

অঙ্কিত বড় ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র।

এর ক্ষেত্রফল $(a + b)^2$

ছোট চতুর্ভুজ ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র।

এর ক্ষেত্রফল $c^2$

অঙ্কনানুসারে, বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল চারটি ত্রিভুজক্ষেত্র ও ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ, $(a + b)^2 = 4 \times \dfrac{1}{2} \times a \times b + c^2$

বা, $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

$\therefore c^2 = a^2 + b^2$ (প্রমাণিত)