বিপরীত উপপাদ্য ও প্রয়োগ

আগের দুই পাঠে দেখেছি: ত্রিভুজ সমকোণী হলে $c^2 = a^2 + b^2$। এবার প্রশ্নটা উল্টে দেখি: কোনো ত্রিভুজের তিন বাহুর মধ্যে এই সম্পর্ক থাকলে ত্রিভুজটি কি অবশ্যই সমকোণী? রাজমিস্ত্রি যখন ঘরের ভিতের কোণ মাপেন, তিনি আসলে এই প্রশ্নেরই উত্তর খোঁজেন।

৯.৩ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য#

“শেষোক্ত বাহুদ্বয়” হলো সেই দুটি বাহু, যাদের উপর আঁকা বর্গ যোগ করা হয়েছে। এদের মাঝের কোণটি সমকোণ, অর্থাৎ সমকোণটি থাকে প্রথম (বড়) বাহুটির ঠিক উল্টো দিকে।

ধাপে ধাপে দেখো প্রতিটি ধাপের সঙ্গে চিত্রের অংশটি জ্বলে উঠবে

1. বিশেষ নির্বচন

   মনে করি, $\tri ABC$-এর $AB^2 = AC^2 + BC^2$।

   প্রমাণ করতে হবে যে, $\ang C =$ এক সমকোণ।

2. অঙ্কন

   এমন একটি ত্রিভুজ $DEF$ আঁকি, যেন $\ang F$ এক সমকোণ, $EF = BC$ এবং $DF = AC$ হয়।

3. প্রমাণ ধাপযথার্থতা
4. ১

   $DE^2 = EF^2 + DF^2$

   যথার্থতা:

   কারণ $\tri DEF$-এ $\ang F$ এক সমকোণ

5. $= BC^2 + AC^2$

   যথার্থতা:

   অঙ্কন অনুসারে

6. $= AB^2$

   যথার্থতা:

   কল্পনা

7. $\therefore DE = AB$

8. এখন $\tri ABC$ ও $\tri DEF$-এ $BC = EF$, $AC = DF$ এবং $AB = DE$।

9. $\therefore \tri ABC \cong \tri DEF$

   যথার্থতা:

   বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা

10. $\therefore \ang C = \ang F$

11. $\therefore \ang C =$ এক সমকোণ। [প্রমাণিত]

    যথার্থতা:

    $\because \ang F$ এক সমকোণ

তিন বাহু দেখে সমকোণী কি না যাচাই#

বিপরীত উপপাদ্য থেকে একটি সহজ পরীক্ষা পাওয়া যায়। তিনটি দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে:

1. ১

   বৃহত্তম বাহুটি আলাদা করো

   সমকোণ থাকলে তা বৃহত্তম বাহুর বিপরীতেই থাকবে, কারণ অতিভুজই বৃহত্তম বাহু।

2. ২

   ছোট দুই বাহুর বর্গের যোগফল বের করো

   ছোট দুই বাহু $a$ ও $b$ হলে হিসাব করো $a^2 + b^2$।

3. ৩

   বৃহত্তম বাহুর বর্গের সঙ্গে তুলনা করো

   দুটি সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী; না হলে সমকোণী নয়।

নিচে তিনটি দৈর্ঘ্য বদলে দেখো, অথবা তৈরি উদাহরণগুলোতে চাপ দাও। প্রথম চারটি অনুশীলনী ৯-এর ৩ নম্বর প্রশ্নের চারটি বিকল্প।

৫² + ১২² ১৬৯

১৩² ১৬৯

৫ + ১২ < ১৩: ছোট দুই বাহু মিলে বড়টির সমান বা ছোট, তাই ত্রিভুজই হয় না।

৫² + ১২² = ১৩²: ত্রিভুজটি সমকোণী, ১৩ একক বাহুটি অতিভুজ।

৫² + ১২² > ১৩²: সমকোণী নয়; বৃহত্তম কোণটি সমকোণের চেয়ে ছোট (সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ)।

৫² + ১২² < ১৩²: সমকোণী নয়; বৃহত্তম কোণটি সমকোণের চেয়ে বড় (স্থূলকোণী ত্রিভুজ)।

প্রথম বাহু

৫

দ্বিতীয় বাহু

১২

তৃতীয় বাহু

১৩

৪, ৪, ৫৫, ১২, ১৩৮, ১০, ১২২, ৩, ৪৭, ২৪, ২৫৯, ১২, ১৫২, ৩, ৬

উদাহরণ ১ সমকোণী কি না

$7$ সে.মি., $24$ সে.মি. ও $25$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি কি সমকোণী? হলে কোন কোণটি সমকোণ?

সমাধান

উদাহরণ ২ যখন মেলে না

$8$, $10$ ও $12$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটি কি সমকোণী?

সমাধান

সমকোণ না হলে কী হয়?#

প্রথম পাঠের পানির পরীক্ষাটি আবার করি, তবে এবার $C$ বিন্দুটি যেকোনো জায়গায় টেনে নেওয়া যায়। সবুজ ড্যাশ দেওয়া অর্ধবৃত্তের উপর থাকলে $\ang C$ সমকোণ; তার বাইরে গেলে সূক্ষ্মকোণ, ভেতরে ঢুকলে স্থূলকোণ। প্রতিবার ঢেলে দেখো চাপো।

ঢেলে দেখো a² + b² ২৫ c² ২৫ ∠C ৯০° ত্রিভুজটি সমকোণী

অতিভুজ c

৫

∠C

৯০°

একক বর্গ

পিথাগোরীয় ত্রয়ী#

কোনো ত্রয়ীর প্রতিটি সংখ্যাকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলেও নতুন ত্রয়ী পাওয়া যায়: $(3, 4, 5)$ থেকে $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$, $(30, 40, 50)$ ইত্যাদি। কারণ $(ka)^2 + (kb)^2 = k^2(a^2 + b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$।

বারো গিঁটের দড়ি#

প্রথম পাঠের ছবির মিশরীয় জমি-মাপকদের দড়িটি হাতে নিয়ে দেখো। দড়িতে বারোটি সমান ভাগ। তিনটি খুঁটিতে দড়ি টানটান করে কত রকম ত্রিভুজ বানানো যায়? কোনটিতে সমকোণ হয়?

সমকোণ! ৪² + ৪² = ৩২ = ৪²। মিশরের জমি-মাপকেরা ঠিক এভাবেই কোণ বানাতেন।

এখানে কোণটি প্রায় ৬০°, সমকোণ নয়: ৪² + ৪² = ৩২, কিন্তু ৪² = ১৬।

দড়ি একটি সরলরেখায় পড়ে থাকে; ত্রিভুজ হয় না।

এভাবে দড়ি টানটান করা যায় না: কোনো একটি বাহু বাকি দুটির যোগফলের চেয়ে বড়।

প্রথম বাহু

৪ ভাগ

দ্বিতীয় বাহু

৪ ভাগ

তৃতীয় বাহু: ৪ ভাগ

বাস্তব জীবনে পিথাগোরাস#

এটাই বিপরীত উপপাদ্যের কাজ: $3^2 + 4^2 = 5^2$ মিললে দেয়াল দুটির মাঝের কোণ সমকোণ। কোণ না মিললে কোণাকুনি দূরত্ব $5$ ফুটের চেয়ে কম বা বেশি হয়, আর মিস্ত্রি দেয়ালের দিক একটু ঘুরিয়ে ঠিক করে নেন।

উদাহরণ ৩ দেয়ালে মই

$13$ ফুট লম্বা একটি মই একটি খাড়া দেয়ালে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের গোড়া দেয়াল থেকে $5$ ফুট দূরে। মইয়ের মাথা মাটি থেকে কত উঁচুতে? গোড়াটি আরও $4$ ফুট সরিয়ে নিলে মাথা কতটা নেমে আসবে?

সমাধান

গোড়া থেকে দেয়াল

৫ ফুট

মইয়ের মাথার উচ্চতা ১২ ফুট দূরত্ব² + উচ্চতা² ২৫ + ১৪৪ মই² ১৬৯

উদাহরণ ৪ মাঠের কোনাকুনি

স্কুলের আয়তাকার খেলার মাঠটির দৈর্ঘ্য $80$ মিটার ও প্রস্থ $60$ মিটার। এক কোণ থেকে বিপরীত কোণে কোনাকুনি হেঁটে গেলে মাঠের কিনারা ধরে হাঁটার চেয়ে কত মিটার কম হাঁটতে হবে?

সমাধান

উদাহরণ ৫ স্রোতের টানে নৌকা

একটি নদী $120$ মিটার চওড়া। একটি নৌকা সোজা অপর পাড়ের দিকে রওনা দিল, কিন্তু স্রোতের টানে অপর পাড়ের যে বিন্দুতে পৌঁছাল, তা ঠিক বিপরীত বিন্দু থেকে $50$ মিটার ভাটিতে। নৌকাটি আসলে কত মিটার পথ গেল?

সমাধান

উদাহরণ ৬ ঝড়ে ভাঙা বাঁশ

$18$ ফুট উঁচু একটি বাঁশ ঝড়ে এমনভাবে ভেঙে গেল যে ভাঙা অংশটি গোড়া থেকে আলাদা হয়নি, আর তার মাথা বাঁশের গোড়া থেকে $6$ ফুট দূরে মাটি ছুঁয়েছে। বাঁশটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙেছে?

হিন্টস দেখো

সমাধান

নিজে চেষ্টা করো#

১

রিয়া একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছে। সুতাটি টানটান আর $50$ মিটার লম্বা। ঘুড়িটি ঠিক যে বিন্দুর উপরে উড়ছে, রিয়া সেখান থেকে $30$ মিটার দূরে দাঁড়িয়ে। রিয়ার হাতের উচ্চতা বাদ দিলে ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উঁচুতে?

সমাধান

২

$12$ মিটার উঁচু একটি খুঁটিকে সোজা রাখতে তার মাথা থেকে একটি তার টেনে খুঁটির গোড়া থেকে $5$ মিটার দূরে মাটিতে বাঁধা হলো। তারটি কত মিটার লম্বা?

সমাধান

৩

$m = 4$, $n = 1$ নিয়ে একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী বানাও এবং যাচাই করো।

সমাধান